ユークリッド整域⇒単項イデアル整域
ユークリッド整域⇒単項イデアル整域だという事実を本で見たが、証明が略されていたので証明を与えました。
まずはそれぞれの定義の確認。
ユークリッド整域
イデアルIの元 a,b (b≠0) について、
a = bq + r
を満たすq,r ∈ R が存在し、さらにこれらは以下の条件を満たす。
r=0 または φ(r) < φ(b)
(ここで、φは関数とは限らず、ある対応のことを指す。全単射のようなものと考えて良いかもしれない)
単項イデアル整域
環Rについて、I⊆Rとする。
任意のイデアルIが、
I = aR (a∈R) と表される。
語弊のないよう述べておくが、ここで、aRとはaにRの全ての元をかけて得られる集合のことを言う。厳密には、
aR = {a・r_i | r_i ,a∈R (i = 1,•••,k) }
...で良いのか、、な?
では、早速証明に移ろうではないか。
(証明)
Iをイデアルとする。仮定よりこれはユークリッド整域である。φ(b)が最小となるようなbについて考えても、任意のIの元aに対し、
a = bq + r (r = 0 または φ(r) < φ(b) )
と表せる。ここで r≠0 とすると、
φ(r) < φ(b)となり、φ(b)が最小であることに矛盾する。よって r = 0 である。即ち
a = bq である。ここでq∈Rより、
I = aR (a∈R)
よってIは単項イデアルである。
よって示された。
(証明終)