2016-07-02

ガンマ関数を導入しようぜの補足

数学

なんか長すぎたのでこっちに補足書いときます。

ガンマ関数が定義されましたが、あの式ではx！を使っていません。ここら辺が定義域を広げられたことのひとつの理由になります。あーそれと、結局数値計算するの忘れてました。すいませんでした。でも、あれですよ。自分でやるから楽しい。

言い訳はいいとして、証明したあの式に1/2とか入れてみてください。できるっしょ？

ガウス積分の記事でそこんとこ軽く触れてるんで、答えあわせに見てください。

てことで、ばいみー

2016-07-02

ガンマ関数を導入しようぜ

数学

${displaystyle}$
まあ言った通りガンマ関数の定義でもしよっかなと思います。
ガンマ関数とは、階乗が拡張された関数であるので、本来は階乗の定義から自然に拡張されます。オイラー先生の積分形は元々の定義ではないので、注意です。結局これからする定義とどっちを定義と選んでも同値なことなので別にそっちを定義としてもいいんですけど。そんなことより早くやりましょう。
(x-1)! = x!/x
この当たり前の式から出発です。これからやるのは全てただの式変形なので気負わず気楽にいきましょう

=  $\dfrac {1}{x}\dfrac {\left( x+n\right) !}{\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }$
ここで急に出てきたnはいどんな値でも良いことに注意です。あー、一応n∈Nとしておきます。このnのおかげでガンマ関数の定義ができるのです。さらに変形。
$=\dfrac {n!}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }\dfrac {n+1}{n}\dfrac {n+2}{n}\ldots \dfrac {n+x}{n}n^{x}$
こんな変形をして何が嬉しいのでしょうか。何が嬉しいのかというと、nを無限大に飛ばしてみたとき、このとき、n+k / nが1に収束するから、右辺のほとんどが1に収束し、まとまった形になるのです。 nの値は自然数ならどれでも良かったんですよね。
てことで、次のようになります。
= $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }$
これで完成です。さて、これをガンマ関数として定義しましょう。

$\Gamma \left( x\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \ldots \left( x+n\right) }$
です。

定義から明らかですが、Γ(x)=(x-1)! です。また、右辺に注意すると、もはやxの値は自然数である必要は無くなっていますねえ。(xが0,-1,-2,-3,...以外の実数の範囲に解析接続されたということになりますね。あれ、複素平面だったかな)
とりあえずはガンマ関数の定義はこれで終わりです。
余談ですが、f=x!となるfは他にも色々と存在しますが、対数凸という性質を持つのはガンマ関数だけらしいです。その辺は僕もよく知りません。
とりあえず、これで自然数以外の階乗が定義できました。定義できたなら数値計算をしてみたいですよねえ。てことでします。
まあ、それをするためには１つの公式を使うので、証明します。証明したいことは

$\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( 1-x\right) =\dfrac {\pi }{\sin \pi x}$
です。
１つの補題を用意しておきます。
$\sin x=x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right)$
これは、ワイエルシュトラスの因数分解定理から証明できますが、省きます。イメージとしては、因数定理みたいなもんです。f(x)の零点をaとしたときにfは(x-a)を因子に持つってやつです。まあ、それでこの公式のxにπxを代入して整理してやると

$\sin \pi x=\pi x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right)$
となります。
これで準備完了です。
さて、ガンマ関数の積Γ(x)Γ(1-x)を計算します。定義のままやると

Γ(x)Γ(1-x)= $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \ldots \left( x+n\right) }\dfrac {n!n^{1-x}}{\left( 1-x\right) \left( 2-x\right) \ldots \left( n+1-x\right) }$

となりますね。整理します。

$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!^{2}}{x\left( 1-x^{2}\right) \left( 2^{2}-x^{2}\right) \ldots \left( n^{2}-x^{2}\right) }\dfrac {n}{n+1-x}$

ここで、1番右の分数のとこはn→∞で1に収束しますね。よって

$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!^{2}}{x\left( 1-x^{2}\right) \left( 2^{2}-x^{2}\right) \ldots \left( n^{2}-x^{2}\right) }$

ここで、 $n!^{2}=1\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2}\ldots n^{2}$ ですから、

$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}\dfrac {1}{1-x^{2}}\dfrac {2^{2}}{2^{2}-x^{2}}\ldots \dfrac {n^{2}}{n^{2}-x^{2}}$ $=\dfrac {1}{x}\prod ^{\infty }_{n=1}\dfrac {n^{2}}{n^{2}-x^{2}}$

$=\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\dfrac {n^{2}-x^{2}}{n^{2}}}$

$=\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right) }$

....!!!!!!

さっきのsinπxの式の一部が出現している！

改めて書くと

Γ(x)Γ(1-x)= $\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right) }$

よっしゃ、代入しよう。

Γ(x)Γ(1-x)= $\dfrac {1}{\dfrac {\sin \pi x}{\pi }}=\dfrac {\pi }{\sin \pi x}$

これで証明完了しました。

2016-06-27

ユークリッドの互除法とかいうやつ

数学

ユークリッドの互除法を最初に見たときは、正直イミフというか、何に使うんだよって感じで、いらねーと思ってたんですけど、思い返してみれば随分と馬鹿だったなあと思っています。

と、いうのも、フィボナッチ数列について調べていたとき、フィボナッチ数の隣り合う項は全て互いに素であるという命題をみつけて、(自分で証明できるかもしれないな)とか思い、証明を試みた際にふと思い出して、見事証明にたどりつけたからです。

それではユークリッドの互除法を、理解しましょう

ユークリッドの互除法とは、

ある自然数aとb (a > b)において、a÷bの余りをrとすると、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に一致する。

というもの。とりあえず例を見てみましょう。

適当に、12と34にしましょうか。この２つの最大公約数を知りたいとします。このときユークリッドの互除法より、34÷12=2 余り10だから、

34と12の最大公約数は12と10の最大公約数を考えればいいということになります。ここでまたユークリッドの互除法です。12と10の最大公約数は、12÷10=1 余り2 より10と2の最大公約数に一致するということです。10と2の最大公約数は2だから、結局12と34の最大公約数は2と分かります。少しわかりにくいですかねぇ

最大公約数とか書くのめんどいので、aとbの最大公約数を(a,b)と書くことにします。(gcd(a,b)って言う一般的な書き方もあるけど、それすら書くのめんどい。

もう少し簡単な例を挙げると、14と6とかにしましょう。この2つの数の最大公約数を知りたくてしょうがないとします。ユークリッドの互除法より、(14 , 6)は(6 , 14÷6の余り)であるから(14,6)=(6,2)です。(6,2)=(2,0)で(2,0)は2だから知りたかった(14,6)は2となります。

例示は理解の試金石とどっかの数学ボーイが言ってました。その通りです。例をたくさんやってみてください。必ず理解がすすみます。

それと、たくさんやってほしい理由はもう1つあって、そのうち最大公約数1とかいう組に出くわすと思います。この流れを知っておいてほしいというのもあるからたくさんやってください。

勘のいい人は気づいているかもしれませんが、最大公約数が1ってゆうのは互いに素ってことです。

まあ、当たり前ですね。最大公約数1ってことは共通する約数が1以外にないってことですから。

さらに勘のいい人は気づいてるかもしれませんが、この流れがさっき言ったフィボナッチ数列の命題に深く関わるいわば主役となる存在です。

あー言い忘れてましたけど、ユークリッドの互除法の証明はしません。

理由は2つあって、つまらないからという理由と、なんだかパッとしなくて証明した感じにならないから。という理由です。

どうしても気になる人は他のサイトなりを見てください。証明を理解するより、ユークリッドの互除法を理解してほしいので、完全に理解したなと思ってから証明を見るのを勧めます。

まあ、そんなこんなで書くことなくなりました。

あー、一応例題的なのを出しときます。

問題 1234と5678の最大公約数を求めよ。