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ゆる〜い数学の日記

適当な僕のブログなんです

黄金数

連分数展開とは、分数の中に分数が入ってるやつです。例えばこんなの。

dfrac{6}{7}=dfrac{1}{dfrac{7}{6}}=dfrac{1}{1+dfrac{1}{6}}
連分数にすることを連分数展開と言います。(多分)
さて、黄金数ですが、知っている方は結構多いと思います。黄金比って言った方がわかりやすいかな。
1: φ のやつです。パルテノン神殿とかひまわりのなんかとかが黄金比だとかいいますね。整数比だと5:8くらい?
で、具体的なφの値はdfrac {1+sqrt {5}}{2}です。
1.61803...くらいです。ちなみにこれは無理数です。記事の最後で触れます。
あーそういえばフィボナッチ数の隣り合う項の比は極限をとると黄金比に近づくんですよね。
それに、隣り合う項はすべて互いに素です。

それでは、黄金数を連分数展開しましょう。
dfrac {1+sqrt {5}}{2}=1+left( dfrac {1+sqrt {5}}{2}-1 ight) =1+dfrac {sqrt {5}-1}{2}=1+dfrac {4}{2left( sqrt {5}+1 ight) }=1+dfrac {1}{dfrac {1+sqrt {5}}{2}}
ただの式変形ですが、ごちゃごちゃしてきましたねぇ。φを使えば見やすいです。
phi =1+dfrac {1}{phi }
お、これは、φ=右辺で右辺にφがあるので、右辺のφの部分に右辺をごっそり代入できますねえ。
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{phi }}
また代入できるねぇ。
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{phi }}}
ずっと続ければ
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{ldots }}}}
ですねえ。美しくなったなぁ。。。
連分数の表記法(うぃきぺであ)をすると、
φ=[1;1,1,1,1,1,...]
おぉ、(;゜0゜)
いと美しき☆
ちなみに、φのように連分数が無限に続けば、その数は無理数です。これは根拠は単純で、もし有限で止まるなら、約分を繰り返して有理数になるから、無限に続けば無理数だ。という主張です。


問題です。考えてください。

12345を9で割ったときの余りを求めてください。

解き方は自由ですが、電卓なんてナンセンスなことはして欲しくないですねえ。

問題です。でーでん

この方程式に整数解が存在しないことを示せ。
1234x + 5678y = 91011

答えは下に


















  






1234x + 5678y = 2 (617x + 2839y)
ですから、整数解が存在した場合左辺は偶数になります。しかし、91011は奇数ですので、解は存在しません。
たまにはこんなのもいいかな、なんて。

ゼッケンドルフ表現とそれに対するある予想

 

ゼッケンドルフの定理

全ての自然数は、隣り合わないフィボナッチ数の和で一意的に表せる。

 

フィボナッチ数は、フィボナッチ数列に表れる数のこととします。1,2,3,5,8,13,21,34,...

ここで、ゼッケンドルフの定理とは、例えば

30=21+8+1

のように、隣り合わないフィボナッチ数の和で全ての自然数が表せるという定理です。

このような表示をゼッケンドルフ表現と言います。

これって結構すごいこといってますよねー。

ウィキに証明があるが、そんなに面白くなさそうなので割愛。

 

列挙してみます。

 

1=1

2=2

3=3

4=3+1

5=5

6=5+1

7=5+2

8=8

9=8+1

10=8+2

11=8+3

12=8+3+1

13=13

14=13+1

15=13+2

16=13+3

17=13+3+1

18=13+5

19=13+5+1

20=13+5+2

21=21

みたいな感じです。

 

ここで、ある予想を立ててみました。 

 

ある自然数nのゼッケンドルフ表現において、その表現中の最大のフィボナッチ数を、n=1から順にならべると、同じフィボナッチ数の個数はフィボナッチ数となる。

言葉で言うとわっかりにくいですが、言ってることは単純です。僕は言葉で説明するのは下手くそなので、数学の言葉を借ります。

nのゼッケンドルフ表現に出てくる最大のフィボナッチ数をFnとします。

例えばF1=1,F2=2,F3=3,F4=3,F20=13,F21=21みたいな感じ。また列挙してみる。

 

F1=1

F2=2

F3=3

F4=3

F5=5

F6=5

F7=5

F8=8

F9=8

F10=8

F11=8

F12=8

F13=13

F14=13

F15=13

F16=13

F17=13

F18=13

F19=13

F20=13

F21=21

F22=21

...

Fnをならべてみる。

1 2 3 3 5 5 5 8 8 8 8 8 13 13 13 13 13 13 13 13 21 21 ...

これでわかりますかね、上のやつの1は1こ、2は1こ、3は2こ、5は3こ、8は5こ、13は8こ、...てな感じです。フィボナッチ数が表れる予感。

 

一応証明は与えました。ので、この命題は真です。ネットを漁っても見つからなかったのですが、割と自明だったりして。

どなたか知ってたという方、取り上げてるサイト知ってる方などいれば教えて欲しいです。

 

証明はそのうち書き込みます。

僕でも出来たので、証明にチャレンジしてみてください。きっとできます。

 

無意味

さて、素数でも数えて落ち着くとするか。

 

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

473

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631...

あああーーーー!

1つだけ間違えて素数じゃないのを数えてしまった!!!!

 

充填率

携帯のバッテリーが74%とか68%だったりするとおぉ!ってなるの俺だけかな