ゆっるい数学ノート

適当に数学のことを書いてます

ユークリッド整域⇒単項イデアル整域

ユークリッド整域⇒単項イデアル整域だという事実を本で見たが、証明が略されていたので証明を与えました。


まずはそれぞれの定義の確認。


ユークリッド整域

イデアルIの元 a,b (b≠0) について、

a = bq + r

を満たすq,r ∈ R が存在し、さらにこれらは以下の条件を満たす。

r=0 または φ(r) ＜ φ(b)


(ここで、φは関数とは限らず、ある対応のことを指す。全単射のようなものと考えて良いかもしれない)


単項イデアル整域

環Rについて、I⊆Rとする。

任意のイデアルIが、

I = aR  (a∈R)  と表される。


語弊のないよう述べておくが、ここで、aRとはaにRの全ての元をかけて得られる集合のことを言う。厳密には、

aR = {a・r_i | r_i ,a∈R (i = 1,•••,k) }

...で良いのか、、な？



では、早速証明に移ろうではないか。

(証明)

Iをイデアルとする。仮定よりこれはユークリッド整域である。φ(b)が最小となるようなbについて考えても、任意のIの元aに対し、

a = bq + r  (r = 0 または φ(r) ＜ φ(b) )

と表せる。ここで r≠0 とすると、

φ(r) ＜ φ(b)となり、φ(b)が最小であることに矛盾する。よって r = 0 である。即ち

a = bq である。ここでq∈Rより、

I = aR  (a∈R)

よってIは単項イデアルである。

よって示された。

                                  (証明終)

ゼッケンドルフ表現とそれに対するある予想

数学

 

ゼッケンドルフの定理

全ての自然数は、隣り合わないフィボナッチ数の和で一意的に表せる。

 

フィボナッチ数は、フィボナッチ数列に表れる数のこととします。1,2,3,5,8,13,21,34,...

ここで、ゼッケンドルフの定理とは、例えば

30=21+8+1

のように、隣り合わないフィボナッチ数の和で全ての自然数が表せるという定理です。

このような表示をゼッケンドルフ表現と言います。

これって結構すごいこといってますよねー。

ウィキに証明があるが、そんなに面白くなさそうなので割愛。

 

列挙してみます。

 

1=1

2=2

3=3

4=3+1

5=5

6=5+1

7=5+2

8=8

9=8+1

10=8+2

11=8+3

12=8+3+1

13=13

14=13+1

15=13+2

16=13+3

17=13+3+1

18=13+5

19=13+5+1

20=13+5+2

21=21

みたいな感じです。

 

ここで、ある予想を立ててみました。 

 

ある自然数nのゼッケンドルフ表現において、その表現中の最大のフィボナッチ数を、n=1から順にならべると、同じフィボナッチ数の個数はフィボナッチ数となる。

言葉で言うとわっかりにくいですが、言ってることは単純です。僕は言葉で説明するのは下手くそなので、数学の言葉を借ります。

nのゼッケンドルフ表現に出てくる最大のフィボナッチ数をFnとします。

例えばF1=1,F2=2,F3=3,F4=3,F20=13,F21=21みたいな感じ。また列挙してみる。

 

F1=1

F2=2

F3=3

F4=3

F5=5

F6=5

F7=5

F8=8

F9=8

F10=8

F11=8

F12=8

F13=13

F14=13

F15=13

F16=13

F17=13

F18=13

F19=13

F20=13

F21=21

F22=21

...

Fnをならべてみる。

1 2 3 3 5 5 5 8 8 8 8 8 13 13 13 13 13 13 13 13 21 21 ...

これでわかりますかね、上のやつの1は1こ、2は1こ、3は2こ、5は3こ、8は5こ、13は8こ、...てな感じです。フィボナッチ数が表れる予感。

 

一応証明は与えました。ので、この命題は真です。ネットを漁っても見つからなかったのですが、割と自明だったりして。

どなたか知ってたという方、取り上げてるサイト知ってる方などいれば教えて欲しいです。

 

証明はそのうち書き込みます。

僕でも出来たので、証明にチャレンジしてみてください。きっとできます。

 

無意味

さて、素数でも数えて落ち着くとするか。

 

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

473

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631...

あああーーーー！

１つだけ間違えて素数じゃないのを数えてしまった！！！！