ゆる〜い数学の日記

適当な僕のブログなんです

黄金数

連分数展開とは、分数の中に分数が入ってるやつです。例えばこんなの。

dfrac{6}{7}=dfrac{1}{dfrac{7}{6}}=dfrac{1}{1+dfrac{1}{6}}
連分数にすることを連分数展開と言います。(多分)
さて、黄金数ですが、知っている方は結構多いと思います。黄金比って言った方がわかりやすいかな。
1: φ のやつです。パルテノン神殿とかひまわりのなんかとかが黄金比だとかいいますね。整数比だと5:8くらい?
で、具体的なφの値はdfrac {1+sqrt {5}}{2}です。
1.61803...くらいです。ちなみにこれは無理数です。記事の最後で触れます。
あーそういえばフィボナッチ数の隣り合う項の比は極限をとると黄金比に近づくんですよね。
それに、隣り合う項はすべて互いに素です。

それでは、黄金数を連分数展開しましょう。
dfrac {1+sqrt {5}}{2}=1+left( dfrac {1+sqrt {5}}{2}-1 ight) =1+dfrac {sqrt {5}-1}{2}=1+dfrac {4}{2left( sqrt {5}+1 ight) }=1+dfrac {1}{dfrac {1+sqrt {5}}{2}}
ただの式変形ですが、ごちゃごちゃしてきましたねぇ。φを使えば見やすいです。
phi =1+dfrac {1}{phi }
お、これは、φ=右辺で右辺にφがあるので、右辺のφの部分に右辺をごっそり代入できますねえ。
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{phi }}
また代入できるねぇ。
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{phi }}}
ずっと続ければ
phi =1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{1+dfrac {1}{ldots }}}}
ですねえ。美しくなったなぁ。。。
連分数の表記法(うぃきぺであ)をすると、
φ=[1;1,1,1,1,1,...]
おぉ、(;゜0゜)
いと美しき☆
ちなみに、φのように連分数が無限に続けば、その数は無理数です。これは根拠は単純で、もし有限で止まるなら、約分を繰り返して有理数になるから、無限に続けば無理数だ。という主張です。