ゆる〜い数学の日記

適当な僕のブログなんです

ゼッケンドルフ表現とそれに対するある予想

 

ゼッケンドルフの定理

全ての自然数は、隣り合わないフィボナッチ数の和で一意的に表せる。

 

フィボナッチ数は、フィボナッチ数列に表れる数のこととします。1,2,3,5,8,13,21,34,...

ここで、ゼッケンドルフの定理とは、例えば

30=21+8+1

のように、隣り合わないフィボナッチ数の和で全ての自然数が表せるという定理です。

このような表示をゼッケンドルフ表現と言います。

これって結構すごいこといってますよねー。

ウィキに証明があるが、そんなに面白くなさそうなので割愛。

 

列挙してみます。

 

1=1

2=2

3=3

4=3+1

5=5

6=5+1

7=5+2

8=8

9=8+1

10=8+2

11=8+3

12=8+3+1

13=13

14=13+1

15=13+2

16=13+3

17=13+3+1

18=13+5

19=13+5+1

20=13+5+2

21=21

みたいな感じです。

 

ここで、ある予想を立ててみました。 

 

ある自然数nのゼッケンドルフ表現において、その表現中の最大のフィボナッチ数を、n=1から順にならべると、同じフィボナッチ数の個数はフィボナッチ数となる。

言葉で言うとわっかりにくいですが、言ってることは単純です。僕は言葉で説明するのは下手くそなので、数学の言葉を借ります。

nのゼッケンドルフ表現に出てくる最大のフィボナッチ数をFnとします。

例えばF1=1,F2=2,F3=3,F4=3,F20=13,F21=21みたいな感じ。また列挙してみる。

 

F1=1

F2=2

F3=3

F4=3

F5=5

F6=5

F7=5

F8=8

F9=8

F10=8

F11=8

F12=8

F13=13

F14=13

F15=13

F16=13

F17=13

F18=13

F19=13

F20=13

F21=21

F22=21

...

Fnをならべてみる。

1 2 3 3 5 5 5 8 8 8 8 8 13 13 13 13 13 13 13 13 21 21 ...

これでわかりますかね、上のやつの1は1こ、2は1こ、3は2こ、5は3こ、8は5こ、13は8こ、...てな感じです。フィボナッチ数が表れる予感。

 

一応証明は与えました。ので、この命題は真です。ネットを漁っても見つからなかったのですが、割と自明だったりして。

どなたか知ってたという方、取り上げてるサイト知ってる方などいれば教えて欲しいです。

 

証明はそのうち書き込みます。

僕でも出来たので、証明にチャレンジしてみてください。きっとできます。