ゆる〜い数学の日記

適当な僕のブログなんです

ガンマ関数を導入しようぜ

{displaystyle}
まあ言った通りガンマ関数の定義でもしよっかなと思います。
ガンマ関数とは、階乗が拡張された関数であるので、本来は階乗の定義から自然に拡張されます。オイラー先生の積分形は元々の定義ではないので、注意です。結局これからする定義とどっちを定義と選んでも同値なことなので別にそっちを定義としてもいいんですけど。そんなことより早くやりましょう。
(x-1)! = x!/x 
この当たり前の式から出発です。これからやるのは全てただの式変形なので気負わず気楽にいきましょう

=
\dfrac {1}{x}\dfrac {\left( x+n\right) !}{\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }
ここで急に出てきたnはいどんな値でも良いことに注意です。あー、一応n∈Nとしておきます。このnのおかげでガンマ関数の定義ができるのです。さらに変形。
=\dfrac {n!}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }\dfrac {n+1}{n}\dfrac {n+2}{n}\ldots \dfrac {n+x}{n}n^{x}
こんな変形をして何が嬉しいのでしょうか。何が嬉しいのかというと、nを無限大に飛ばしてみたとき、このとき、n+k / nが1に収束するから、右辺のほとんどが1に収束し、まとまった形になるのです。   nの値は自然数ならどれでも良かったんですよね。
てことで、次のようになります。
=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+n\right) }
これで完成です。さて、これをガンマ関数として定義しましょう。

\Gamma \left( x\right) =\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \ldots \left( x+n\right) }
です。

定義から明らかですが、Γ(x)=(x-1)!      です。また、右辺に注意すると、もはやxの値は自然数である必要は無くなっていますねえ。(xが0,-1,-2,-3,...以外の実数の範囲に解析接続されたということになりますね。あれ、複素平面だったかな)
とりあえずはガンマ関数の定義はこれで終わりです。
余談ですが、f=x!となるfは他にも色々と存在しますが、対数凸という性質を持つのはガンマ関数だけらしいです。その辺は僕もよく知りません。
とりあえず、これで自然数以外の階乗が定義できました。定義できたなら数値計算をしてみたいですよねえ。てことでします。
まあ、それをするためには1つの公式を使うので、証明します。証明したいことは

\Gamma \left( x\right) \Gamma \left( 1-x\right) =\dfrac {\pi }{\sin \pi x}
です。
1つの補題を用意しておきます。
\sin x=x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right)
これは、ワイエルシュトラス因数分解定理から証明できますが、省きます。イメージとしては、因数定理みたいなもんです。f(x)の零点をaとしたときにfは(x-a)を因子に持つってやつです。まあ、それでこの公式のxにπxを代入して整理してやると

\sin \pi x=\pi x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right)
となります。
これで準備完了です。
さて、ガンマ関数の積Γ(x)Γ(1-x)を計算します。定義のままやると

Γ(x)Γ(1-x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!n^{x}}{x\left( x+1\right) \ldots \left( x+n\right) }\dfrac {n!n^{1-x}}{\left( 1-x\right) \left( 2-x\right) \ldots \left( n+1-x\right) }

となりますね。整理します。

=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!^{2}}{x\left( 1-x^{2}\right) \left( 2^{2}-x^{2}\right) \ldots \left( n^{2}-x^{2}\right) }\dfrac {n}{n+1-x}

ここで、1番右の分数のとこはn→∞で1に収束しますね。よって 

=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n!^{2}}{x\left( 1-x^{2}\right) \left( 2^{2}-x^{2}\right) \ldots \left( n^{2}-x^{2}\right) }

ここで、n!^{2}=1\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2}\ldots n^{2}ですから、

=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}\dfrac {1}{1-x^{2}}\dfrac {2^{2}}{2^{2}-x^{2}}\ldots \dfrac {n^{2}}{n^{2}-x^{2}}=\dfrac {1}{x}\prod ^{\infty }_{n=1}\dfrac {n^{2}}{n^{2}-x^{2}}

=\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\dfrac {n^{2}-x^{2}}{n^{2}}}

=\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right) }

....!!!!!!

さっきのsinπxの式の一部が出現している!

改めて書くと

Γ(x)Γ(1-x)=\dfrac {1}{x\prod ^{\infty }_{n=1}\left( 1-\dfrac {x^{2}}{n^{2}}\right) }

よっしゃ、代入しよう。

Γ(x)Γ(1-x)=\dfrac {1}{\dfrac {\sin \pi x}{\pi }}=\dfrac {\pi }{\sin \pi x}

これで証明完了しました。