ゆる〜い数学の日記

適当な僕のブログなんです

ガウス積分のガンマ関数を用いた計算

ガウス積分とは、以下のような積分です。f:id:Mynano:20160624215004p:image

ネタバレしちゃってますが、積分値はとても面白い値ですねえ。グラフにプロットすると、潰した山みたいな形になってます。

僕自身、この証明は極形式を用いてやった記憶があるのですが、最近面白い証明を見つけたので紹介しまーす。 要望があればそっちの証明もやりますが。

今回の証明はガンマ関数を用いた証明です。ガンマ関数をあまり知らない人にとっては若干きついかも知れません。まあそのうちガンマ関数についての記事も書こうと思ってます。てことで、本題に入りましょう。

ガンマ関数Γ(s)とは、以下に定義される関数です。

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なんだか難しい感じがしますが、こんなやつなんだ程度でオッケーです(´・Д・)」

元々、ガンマ関数は階乗を一般化するために導入された関数で、階乗から自然に拡張されます。のちに、オイラーによって発見的に導出されたのが上の積分表示らしいです。詳しいことは知りませんので、あんまりあてにしないでね☆

ちなみに、ガンマ関数はΓ(s)=(s-1)!という性質を持っています。まあ、この辺もそのうち書こうと思ってます。

あー余談が過ぎてしまいました。やることはえっと、、あー証明でしたね。はい。てことで、証明に移りたいと思いますが、証明の為にガンマ関数の重要な性質を1つ挙げときます。

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こんな感じのやつです。

美しいですねえ。この証明には三角関数の無限乗積展開を使ったのですが、どなたか別の証明を知っていたら教えてください。

それで、このsに1/2を代入します。すると、左辺はΓ(1/2)^2となり、右辺はπとなるから、

Γ(1/2)=√π   となります。大事なことなのでもう一度いいます。Γ(1/2)=√πです。ここで、先ほどのガンマ関数の積分表示の式を引っ張り出してきます。あのsに1/2を代入します。

すると、

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となりますねえ。 ここで、x=t^2と変数変換します。簡単なので途中計算はやってみてください。Γ(1/2)=√πでしたので、まとめると

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です。両辺を√aで割ると、右辺は2 ∫~~となりますね。

ここで、インテグラルの中を見ると、偶関数なので積分範囲を−∞から∞まで広げることで、係数の2を消せるので、求めていたガウス積分の形になりますね。(厳密には、収束することを示しておかないと無限積分を偶関数という理由で積分範囲は広げられない)

左辺は√(π/a)となっていますので、最初の等式が導けました。これでめでたく証明完了です。

あー疲れたw